sobota 7. května 2016

Proč s nekonečnem operovat zásadně v krajkových rukavičkách

Viděla jsem to mockrát při doučování - lidé mají často tendence zacházet s nekonečny jako s nějakými úplně regulérními čísly jako deset, milion nebo dvě stě padesát sedm. Pojem nekonečna a pojmy s ním související jsou dost abstraktní - ta klasická představa, že jdeš dál a dál, a pořád nenarážíš na konec, lidskou mysl asi moc neuspokojí - a je naprosto pochopitelné, že nekonečno umí činit dost problémů. 

Takže, kdybych měla dát dohromady pár naprosto bramborovitých závěrů, ke kterým bychom dospěli, kdybychom s nekonečnem zacházeli moc humpolácky...
  • Každá plocha je tvořena nekonečně mnoha body. To znamená, že všechny plochy jsou stejně velké. (přitom školní lavice asi nezaujímá stejnou plochu jako Brazílie, že?)
  • Příklad s tím související: Afrika nepochybně je tvořena nekonečně mnoha body, stejně tak celý svět je tvořen nekonečně mnoha body. Afrika tedy je stejně velká jako svět, to znamená, že Afrika zaujímá celou plochu světa, a tedy například Evropa neexistuje. 
  • Všech sudých čísel je nekonečně mnoho, všech celých čísel také je nekonečně mnoho. To znamená, že sudých čísel je stejný počet jako celých, tedy všechna celá čísla jsou sudá.
Závěr je asi celkem jasný - není nekonečno jako nekonečno, a je to pojem označující jen fakt, že počet určitých prvků nemá konec, ale ne žádný jeden konkrétní objekt, který by se opakoval pořád dokola, kdykoli použijeme termín "nekonečno" nebo "nekonečně mnoho".

Matematika - hlavně ta pokročilejší, daleko za hranicemi toho, o čem se mluví na základních a středních školách - každopádně často ukazuje, že kdybychom se na nekonečno dívali jako na něco úplně normálního, moc bychom nepochodili. Krásným příkladem je projektivní geometrie, což je odvětví geometrie, které by se ideálně asi mělo přejmenovat na "mindfuck geometrie" - třeba přímky v ní definovány jsou, ale vzdálenosti nebo úhly nikoli, což vede k tomu, že v projektivní geometrii se jakékoli přímky protínají, tedy i ty, kterým říkáme rovnoběžné, a od prvního stupně základní školy nějak tak předpokládáme, že žádný společný bod nemají. Podle projektivní geometrie mají - v jednom bodě, který tentokrát lze považovat za nějaké konkrétní nekonečno. I v běžném životě se ovšem dá najít spousta důkazů toho, že zavedení téhle představy není zdaleka tak šílené, jak se může na první pohled zdát. Když se na rovnoběžné přímky díváme "přímo zeshora", zdají se opravdu rovnoběžné, tedy že se určitě nemůžou nikdy protnout - projektivní geometrie nicméně začne dávat lepší smysl ve chvíli, kdy se na tyto rovnoběžné přímky podíváme pod jiným úhlem, z jiné vzdálenosti. Dobře se toho dá všimnout třeba u kolejiště. Z toho, jak je člověku přirozené geometrii chápat, bychom řekli, že vzdálenost mezi kolejnicemi je stále stejná, tedy pro rovnou trasu jde vlastně o něco jako rovnoběžné přímky, které se určitě nemůžou protnout. Ale na druhou stranu, nejspíš každý si všimnul, že z určitého úhlu se zdá, že vzdálenost mezi kolejnicemi se zmenšuje a zmenšuje, ty se k sobě stále přibližují, až někde v dáli mezi nimi bude sotva pár milimetrů, ještě dál to bude zlomek z oněch pár milimetrů... takže by se dalo říct, že někde v nekonečnu se protnou. To, jak a kde se přímky protnou, je z velké části záležitost perspektivy, a myslím, že přesně takové příklady, které můžeme pozorovat i v každodenním životě, daly impulz k tomu začít pracovat na něčem, jako jsou naprosto bizarní věci typu projektivní geometrie.

No, a úplnou čáru přes už tak omezený rozpočet dělá teorie množin (což je obor, který obecně dělá čáru přes rozpočet nějak tak úplně všude, kde se objeví) se svým pojmem mohutnosti.

Pro definici samotného pojmu mohutnosti se používají termíny jako kardinály a ordinály. Není to úplně snadné na pochopení a tématem tohohle textu ostatně neměla být teorie množin, takže myslím, že bude stačit to, že mohutnost nějaké množiny (tedy souboru nějakých prvků) je zjednodušeně řečeno její velikost, její počet prvků. Mnohem častěji vídám zavedení pouze srovnání mohutnosti dvou množin, tedy které množiny mají mohutnost stejnou či která ji má menší. Stejná mohutnost, která nás bude zajímat teď, nastává tehdy, kdy mezi dvěma množinami lze najít tzv. bijekci, tedy vzájemně jednoznačné zobrazení - to vlastně znamená, že konkrétnímu prvku z jedné množiny lze přiřadit konkrétní prvek z druhé množiny, přičemž každý z těchto prvků je zastoupen právě jednou. Název "vzájemně jednoznačné" je tedy odvozen od toho, že každému prvku z první množiny je zcela jednoznačně přiřazen prvek ze druhé, a naopak každému prvku z množiny druhé jednoznačně přiřazen prvek množiny první. To někomu pořád může znít dost abstraktně, takže příklad z reálného života, tentokrát pro konečnou množinu, podobný dětským spojovačkám, jak je známe z první třídy - máme první množinu obsahující prvky "ponožka", "rukavice" a "čepice" a druhou množinu obsahující prvky "ruka", "noha" a "hlava". Pokud nebudeme přistupovat na poněkud podivné pokusy typu navlékání rukavice na hlavu, nepochybně tu je vzájemně jednoznačné přiřazení ponožka-noha, rukavice-ruka, čepice-hlava. Stejně tak je vzájemně jednoznačným zobrazením třeba puzzle - zcela konkrétní dílek patří na zcela konkrétní místo, na zcela konkrétní místo má přijít zcela konkrétní dílek, žádný dílek nezůstane navíc, žádné místo nezůstane neobsazené.

A teď k tomu, proč o tom pojmu vůbec mluvím. Zatím zní vcelku dost intuitivně - mezi naší zavedenou množinou tří kusů a oblečení a tří částí těla je vzájemně jednoznačné zobrazení, což z definice znamená, že tyto množiny mají stejnou mohutnost... a opravdu, vždyť mají stejný počet prvků, funguje to! No, tak jsme zaplesali nad genialitou a intuitivností pojmu "stejná mohutnost", a teď přicházejí na plac nekonečné množiny...

Na začátku článku jsem použila příklad s všemi celými a všemi sudými čísly. Omezme se teď pro větší jednoduchost na čísla kladná sudá a kladná celá. Množina kladných sudých čísel bude obsahovat prvky 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14......, množina kladných celých 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...... - na první pohled by se tedy mohlo zdát naprosto jasné, že množina kladných sudých musí mít velikost menší, protože jejich "nekonečně mnoho" je nějak tak "poloviční", než jaké je "nekonečně mnoho" všech kladných celých. Jenže z rohu najednou vykoukne pojem mohutnosti množin se svojí "stejnou mohutností"... z toho, jak jsme zvyklí chápat svět, se může zdát jako úplná absurdita na těchto našich dvou množinách hledat stejný počet prvků, ale naprosto rozumně zavedený pojem "stejné mohutnosti" si myslí něco jiného. Vzájemně jednoznačné zobrazení se nám povede nalézt - prostě prvnímu prvku z množiny celých čísel přiřadíme první prvek z množiny celých kladných, druhému prvku druhý prvek, třetímu prvku třetí prvek, a tak dále. Chcete-li toto vzájemně jednoznačné zobrazení uvést matematicky, máme zde funkci y = 2x. Dosadíme-li za x postupně prvky z množiny čísel celých kladných, dostaneme 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14... Funguje to, opravdu mezi nimi je vzájemně jednoznačné zobrazení určené předpisem y = 2x, neboli prvky ze "sudé" množiny jsou vždy dvojnásobkem prvků z "prostě celé" množiny.

Závěr? Nekonečno je nekonečně bizarní, a možná mě uvažování o něm pošle na psychiatrii spíš než bipolární porucha.